每日艺题 on ∇Alex的实验室

每日艺题 DAY002

Thu, 12 Feb 2026 16:54:26 +0800

$$a_n$$ $$S_n$$ 联袂数列(有通项)

\begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather}

Attempt1:

\begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather}

这样的形式还是太复杂了,遂放弃.

每日艺题 DAY001

Tue, 10 Feb 2026 17:31:25 +0800

$S_{n},a_{n}$ 联袂数列(无通项)

题目：

已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的无穷数列,其前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$ ,且

$a_n + S_n = a_n S_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

给出下列四个结论： ① $a_2 = \sqrt{2}$ ；
② 存在一个正数 $$m_0$$ ,使得对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ ,都有 $$S_n < m_0$$ ；
③ 数列 $\{a_n\}$ 单调递减；
④ 对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ , $n \geq 2$ ,都有 $a_{n-1} + a_{n+1} > 2a_n$ 。
其中所有正确结论的序号是___。 (SRC:北京101中2025-2026第一学期高三数学统练二)