Math on ∇Alex的实验室

变态难の对数Pade逼近

Fri, 03 Apr 2026 20:48:40 +0800

本文围绕对数函数

\ln x

与

\ln(1+x)

的 Padé 逼近与不等式放缩 展开，系统总结了一类高考常见的估值与比较技巧。

26年3月27日课堂复盘

Fri, 27 Mar 2026 22:17:31 +0800

两个重要数列

$n\in N^*$ ,有以下两个数列:

$a_n=(1+\frac{1}{n})^n$
$b_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

我们有以下两个结论:

$a_n\lt e\lt b_n$
$\{a_n\}$ 为递增数列, $\{b_n\}$ 为递减数列
$\{a_n\},\{b_n\}$ 收敛, $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=e$

我们可以观看优美的desmos图像感受性质.

浅谈函数的凹凸性

Mon, 09 Mar 2026 20:51:00 +0800

函数的凹凸性 (Convexity and Concavity)

前言：同一事物，三种视角

什么是函数的凹凸性？当我们面对这个问题时，得到的答案往往取决于提问的语境。这有点像费曼在《费曼物理学讲义》中所说的：

科学是对同一事物不同角度的认识。

约束条件最值一百题001

Fri, 06 Mar 2026 21:56:50 +0800

题目

已知 $x, y \ge 0$ ，且满足方程 $$x + 4y = x^2 y^3$$ ，求 $(\frac{8}{x} + \frac{1}{y})_{\min}$ 的值。

解答过程(人类阵营)

消元+单变量基本不等式

将原方程变形为关于 $$x$$ 的一元二次方程：
$$$y^3 x^2 - x - 4y = 0$$$
利用求根公式解出 $$x$$ （取正根）：

自然对数的估值方法

Thu, 05 Mar 2026 20:54:13 +0800

泰勒展开

$\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ 需要注意的是,此公式具有收敛半径 $$R=1$$ ,仅适用于 $x\approx 0$ 的情况.

具体内容,可以见浅谈泰勒展开与高考数学.

帕德逼近(※)

以下是维基百科给出的简介,这里不加赘述.

浅谈泰勒展开与高考数学

Mon, 23 Feb 2026 17:10:57 +0800

泰勒公式

高数知识

泰勒 (Taylor) 公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别是带有皮亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

1. 带有皮亚诺余项的泰勒公式

若函数 $$ f(x) $$ 在点 $$ x_0 $$ 处存在直至 $$ n $$ 阶导数，则有

每日艺题 DAY002

Thu, 12 Feb 2026 16:54:26 +0800

$$a_n$$ $$S_n$$ 联袂数列(有通项)

\begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather}

Attempt1:

\begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather}

这样的形式还是太复杂了,遂放弃.

每日艺题 DAY001

Tue, 10 Feb 2026 17:31:25 +0800

$S_{n},a_{n}$ 联袂数列(无通项)

题目：

已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的无穷数列,其前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$ ,且

$a_n + S_n = a_n S_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

给出下列四个结论： ① $a_2 = \sqrt{2}$ ；
② 存在一个正数 $$m_0$$ ,使得对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ ,都有 $$S_n < m_0$$ ；
③ 数列 $\{a_n\}$ 单调递减；
④ 对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ , $n \geq 2$ ,都有 $a_{n-1} + a_{n+1} > 2a_n$ 。
其中所有正确结论的序号是___。 (SRC:北京101中2025-2026第一学期高三数学统练二)